考虑一个大概与此等价的命题：用一个平面去截一个闭曲面，得到的交线都是圆周，则这个曲面必然是球面。
不过说实话我不是很确定这个命题到底是不是与原命题等价。大概等价吧……
首先取一族平行平面，从这些平面截出的圆中挑出最大的那个，称为O1。再取这个圆的任意一条直径，过该直径（且不与O1共面）的平面截出的圆一定以O1的直径为一条弦。倘若所有这些圆都一样大，那么几何体就是由这个圆绕直径旋转而来的，它自然是球。倘若存在一个比O1还要大的圆O2，那么过O2的一条平行于O1直径的直径作一个平行于O1所在平面的平面，它截出的圆至少和O2一样大，故比O1大。但O1已经是平行平面族截出的最大的圆，因此推出了矛盾。所以，唯一的情况就是上面说的“所有的圆都一样大”，因此几何体是球。
这个解不是我给出的，是我的一位大佬朋友给的，特在此转写出。
感觉非常难，要摒弃直观去证。
期待严格的证明出现。
===== 2018 最后一天突然的好想法 ====
或者我们应该考虑这个几何体的直径，以此作为突破口。
取这个几何体 S 的直径，diam S，即 sup distance(A,B), 其中上确界是对任意 A,B 属于 S 取的。
假定这个立体应该是有界且是闭的，于是存在两点 A,B 取到这个直径。
过这个线段 AB 的任意一个平面截取出圆，于是，AB 恰好是这个圆的直径(否则，在这个圆周上能取到比 AB 要长的两点)
于是，让平面绕着 AB 旋转，此过程中，得到的圆都是以 AB 作为直径。因此，这样圆都是等圆。故整个几何体是绕 AB 的等圆平面旋转得到的旋转体!!!
严格证明!
反证法。球的定义是三维空间中到给定一点A的距离全相等，那非酋…错了，非球就是存在到A距离和别的点到A距离不等的点，那么过该点和A做截面，得出来的就不是个圆。所以只能是球
因为如果不是球，哪怕就比球少一个点，那过这个点截出来的图案就不是圆，换而言之，此时有无数种方法可以截出非圆图案，而从题主你的描述来看，无论任何方式截面都是圆，说明不存在这个“点”，也就是说，这个几何体就是球。
用平面截一个圆就好比从一个方向的投影（如正视图,俯视等）截出来的所有都是圆，就好比从任意方向看过去（投影到平面上）都是圆。这样的图形就是球。
给个不严谨的“证明”吧。把该几何体放在三维坐标系里，必有一点横坐标最小，把这个点平移到原点，然后用过 x 轴的平面截几何体，显然截出的圆都与 yOz 平面相切于原点，这些圆大小相等，说明该几何体是球体。
不一定啊，估计题主原题没看清把
你比如我斜着切一个椭圆柱，它的截面刚好是个圆，这不就是反例吗
不然除非是题目中“几何体”的定义是有所指的，比如好像有教科书会说“几何体”就一定是正几何体，正六面体，正四面体，正八面体，球体之类的，那这么一圈定，就只有球体了
－－－－－－以上是错误答案－－－－－－
评论提醒了，后半句有个都字
那么它就从我错误理解的“其中一个截面是圆”
变成任意切，横截面都是圆，那就只有球了
